4.Первое и второе достаточные условия существования экстремума функции в точке.

Первое достаточное условие:

Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой -окрестности критической точки и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума; с минуса на плюс - то есть точка минимума.

Доказательство:

Рассмотрим -окрестность точки . Пусть и . Тогда функция возрастает на интервале , а на интервале она убывает. Отсюда следует, что значение в точке является наибольшим на интервале , т.е. для всех . Следовательно есть точка максимума.

Второе достаточное условие:

Если в точке первая производная функции равна нулю (), а вторая производная в точке (), то при в точке функция имеет максимум, а при – минимум.

Доказательство:

Пусть . Т.к. , то в достаточно малой окрестности точки . Если , то , если , то . Из этого следует, что при переходе через точку первая производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно есть точка минимума.