1.Критерии постоянства, убывания и возрастания функции на интервале.

Критерий постоянства: Функция на тогда и только тогда, когда на .

Доказательство:

а)Необходимость: Пусть на . Тогда

б)Достаточность: Пусть и . Тогда

Необходимое условие возрастания (убывания) функции на интервале

Пусть дифференцируемая функция возрастает (убывает) на интервале Тогда () на .

Доказательство: Пусть . Тогда .

Если функция возрастает (убывает), то и числитель и знаменатель дроби положительны (отрицательны), следовательно дробь в обоих случаях положительна, т.е. ч.т.д.

Достаточное условие возрастания (убывания) функции на интервале

Если то функция возрастает (убывает) на .

Доказательство:

Пусть , . По теореме Лагранжа: , где По условию и . Следовательно , . Следовательно, функция возрастает на .