4.Определение бесконечно малой и бесконечно большой функций. Свойства бесконечно малых функций. Теорема о связи между бесконечно большой и бесконечно малой функциями.

Функция называется бесконечно малой при , если.

Функция называется бесконечно большой при , если для любого положительного числа существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Записывается: .

Свойства бесконечно малых функций:

1)Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

2)Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

3)Произведение двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

4)Произведение бесконечно малой функции на число есть функция бесконечно малая.

5)Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

Теорема о связи между бесконечно большой и бесконечно малой функциями:

Если функция - функция бесконечно малая (), то функция есть бесконечно большая функция и наоборот.

Доказательство:

Пусть - бесконечно малая функция при , т.е. . Тогда для любого числа существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство , т.е. , т.е. , где . А из этого следует, что функция - бесконечно большая.