Список вопросов:
Тема 1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
1. Критерии постоянства, убывания и возрастания функции на интервале
2. Определение критической точки первого рода. Определение точки экстремума функции
3. Необходимое условие существования экстремума функции в точке.
4. Первое и второе достаточные условия существования экстремума функции в точке.
5. Определения выпуклости и вогнутости графика функции. Достаточный признак выпуклости (вогнутости ) графика функции.
6. Определение точки перегиба, определение критической точки второго рода.
7. Необходимое условие точки перегиба. Достаточное условие точки перегиба.
8. План полного исследования функции и построения ее графика. Пример.
9. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
Тема 2. Интегральное исчисление функции одной переменной
1. Понятие первообразной. Теорема о структуре любой первообразной данной функции.
2. Понятие неопределенного интеграла. Его свойства. Таблица основных интегралов.
3. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Примеры.
4. Метод интегрирования по частям. Основные классы функций, интегрируемых по частям. Примеры.
5. Понятия правильной и неправильной рациональной дроби. Интегрирование простейших рациональных дробей.
6. Методы нахождения неопределенных коэффициентов в разложении правильной рациональной дроби на простейшие. Примеры.
7. План интегрирования дробно-рациональной функции. Пример.
8. Методы интегрирования тригонометрических выражений вида R(sinx, cosx), где R – рациональная функция аргументов sinx и cosx. Пример.
9. Интегрирование иррациональных выражений (различные случаи). Пример.
10. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл.
11. Теорема существования определенного интеграла. Его свойства.
12. Формула Ньютона-Лейбница (с доказательством). Пример вычисления.
13. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Примеры.
14. Понятие несобственного интеграла первого рода. Пример. Признаки сходимости.
15. Понятие несобственного интеграла второго рода. Пример. Признаки сходимости.
16. Вычисление площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла в декартовой, полярной системах координат, в параметрическом случае. Пример.
17. Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений. Пример.
18. Таблица применений определенного интеграла. Пример.
Тема 3. Функции нескольких переменных.
1. Определение функции нескольких переменных. Определение области D. Понятие графика функции двух переменных.
2. Определение функции двух переменных, непрерывной в точке. Свойства функции, непрерывной в ограниченной замкнутой области D.
3. Определение предела функции двух переменных. Определение частной производной. Пример.
4. Определение функции нескольких переменных, дифференцируемой в точке. Определение полного дифференциала функции. Геометрический смысл частной производной.
5. Производные сложных и неявных функций (различные случаи). Пример.
6. Определение точки экстремума функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия существования экстремума. Пример.
7. Понятие условного экстремума функции двух и трех переменных. Пример – текстовая задача.
8. Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в ограниченной замкнутой области D. Пример.
9. Определение скалярного поля. Линии и поверхности уровня. Примеры.
10. Производная по направлению: определение, формула, пример.
11. Определение градиента функции нескольких переменных. Теорема о связи градиента и производной по направлению данной функции в данной точке М.
Тема 4. Кратные и криволинейные интегралы.
1. Определение двойного интеграла. Теорема существования. Его свойства. Пример вычисления.
2. Теорема о замене переменных в двойном интеграле. Пример.
3. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Приложения двойного интеграла. Пример.
Тема 5. Дифференциальные уравнения и системы.
1. Определение обыкновенного дифференциального уравнения n – го порядка. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения . Постановка задачи Коши.
2. Определения общего и частного решений дифференциального уравнения первого порядка. Уравнение с разделяющимися переменными. Пример.
3. Определение и решение однородного дифференциального уравнения первого порядка. Пример.
4. Определение и решение линейного дифференциального уравнения первого порядка.
5. Определение и решение уравнения Бернулли.
6. Определение и решение уравнения в полных дифференциалах. Пример.
7. Решение дифференциальных уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка. 3 случая. Пример.
8. Понятие фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.
9. Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка. Пример.
10. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка. Пример.
11. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка. Пример.
12. Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. 3 случая. Пример.
13. Отыскание частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, правая часть которого имеет первый специальный вид. Пример.
14. Отыскание частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, правая часть которого имеет второй специальный вид. Пример.
