10.Теорема Гаусса и Стокса (поток и циркуляция) для вектора B. Расчет поля бесконечного соленоида и тороида.

Теорема Гаусса(поток) для вектора :

Поток вектора магнитной индукции сквозь любой замкнутую поверхность равен нулю: . Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми.

 

 

Теорема Стокса(циркуляция) для вектора :

Циркуляцией вектора  по заданному замкнутому контуру называется интеграл .

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема Стокса): циркуляция вектора  по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной  на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром: , где n – число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз сколько он охватывает контур.

 

Расчет поля бесконечного соленоида:

Рассчитаем индукцию магнитного поля внутри соленоида. Рассмотрим соленоид длиной l, имеющий N витков, по которому течет ток. Для нахождения магнитной индукции выберем замкнутый прямоугольный контур ABCDA. Циркуляция вектора  по замкнутому контуру ABCDA? охватывающему все N витков равна  . Интеграл по ABCDA можно представить в виде четырех интегралов: по AB,BC,CD и DA. На участках AB и CD контур перпендикулярен линиям магнитной индукции и . На участке вне соленоида B=0. На участке DA циркуляция вектора  равна , следовательно: . Отсюда следует выражение для магнитной индукции поля внутри соленоида: .

 

Расчет потока бесконечного тороида:

Магнитное поле тороида сосредоточено внутри него, вне его поля нет. Линии магнитной индукции в случае тороида являются окружностями, центры которых расположены по оси тороида. Выберем одну такую окружность радиусом r. Тогда, по теореме о циркуляции . Отсюда следует выражение для магнитной индукции поля внутри тороида: